ATURAN PENCACAHAN

KAIDAH PENCACAHAN

KOMPETENSI DASAR

3.3. Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual

3.4. Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual

Kaidah Pencacahan

Ada tiga metode dalam kaidah pencacahan:

1. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Untuk memahami metode ini, kita dapat menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam $n_1$ cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam cara yang berbeda, dan seterusnya maka kejadian-kejadian itu secara berurutan dapat terjadi:maka : $n_1 \times n_2 \times n_3$ … cara yang berbeda

Sebagai ilustrasi: misalkan seorang pekerja memiliki 4 buah kemeja dan 2 buah dasi yang masing-masing mempunyai warna yang berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan dasi yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k = ( $k_1, k_2, k_3, k_4$ ) = 4 buah dan himpunan dasi adalah d = ( $d_1, d_2$ ) = 2 buah. Sehingga dapat ditentukan bahwa:maka $n_k \times n_d$ = 4 x 2 = 8 cara

2. Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Contoh, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika , ( $r > n$ ) permutasinya: $_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ .

Sehingga jika $n = r$ , permutasinya: $_nP_r = n!$ .

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan $_3P_3 = 3! = 6$ . Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan . $_3P_2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = 3! = 6$ .

2. Permutasi dengan Beberapa elemen yang sama

Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen $n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,$ , dengan $n_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le$ adalah:

$_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!}$

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

$p = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!} = \frac{6!}{3! 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = 60$ .

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah

$P_(siklis) = (n - 1)!$

Sebagai ilustrasi: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja adalah

$P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah

$P_(berulang) = n^r$

Sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah

$P_(tidak berulang)= \frac{n!}{(n - r)!}$

3. Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

$_3C_2 = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$

Binom Newton

Binom Newton berhubungan dengan bentuk $(a + b)^2$ . Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :Suku ke – r = $_nC_{r-1} \times a^{n-r+1} \times b^{r-1}$

Sebagai ilustrasi: koefisien $x^{27}$ dari $(x^2 + 2x)^{15}$ adalah:

$_nC_{r - 1} x a^{n - r + 1} x b^{r - 1} = _{15}C_{r - 1} x (x^2)^{15 - r + 1} x (2x)^{r - 1}$

$= _{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1}$

Agar x berpangkat 27 dibuat:

$27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset{maka}{\rightarrow}r = 4$ Sehingga:

suku ke – 4 = $_{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1} = _{15}C_3 x (x^{30 -8 +2}) x (2x)^{4 - 1}$ .
$_{15}C_3 . x^{24}8x^3 = _{15}C_3 . 8x^{27} = \frac{15!}{12!3!}8x^{27} = 3640x^{27}$ .
Koefisiennya: 3640
https://www.studiobelajar.com/peluang-permutasi-kombinasi/

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANKaidah

Pencacahan – Permutasi

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Permutasi

A, B, C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{12}$

$\textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{6}$

$\textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{3}$

$\textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2}$

$\textrm{E.} \; \; \; \frac{2}{3}$

Pembahasan:

Kemungkinan susunan yang dapat terjadi untuk susunan A dan B selalu berdampingan adalah:

$_{3} P _{3} = \frac{3!}{(3 - 3)!}$

$= 3 \times 2 \times 1$

$= 6 \; \textrm{susunan}$

Pola yang mungkin terjadi untuk posisi A dan B selalu berdampingan adalah AB atau BA. Sehingga kemungkinan susunannya perlu dikalikan 2 sehingga menjadi 12.

Total kemungkinan susunan posisi A B C D yang dapat terjadi adalah

$_{4} P _{4} = \frac{4!}{(4 - 4)!}$

$= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$= 24 \; \textrm{susunan}$

Jadi peluang A dan B selalu berdampingan adalah:

$P(A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Jawaban: D

Kaidah Pencacahan – Kombinasi

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Kombinasi

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{10}$

$\textrm{B.} \; \; \; \frac{5}{36}$

$\textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{6}$

$\textrm{D.} \; \; \; \frac{2}{11}$

$\textrm{E.} \; \; \; \frac{4}{11}$

Pembahasan:

Banyaknya cara mengambil 2 bola merah:

$_{5} C _{2} = \frac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!}$

$= \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2!}$

$= \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

$= 4 \cdot 5 = 10 \; \textrm{cara}$

Banyaknya cara mengambil 1 bola biru:

$_{4} C _{1} = \frac{4!}{(4 - 1)! \cdot 1!}$

$= \frac{3! \cdot 4}{3! \cdot 1!}$

$= 4 \; \textrm{cara}$

Banyaknya cara pengambilan bola sekaligus:

$_{12} C _{3} = \frac{12!}{(12 - 3)! \cdot 3!}$

$= \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{9! \cdot 3!}$

$= \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220 \; \textrm{cara}$

3. Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{aligned} (A) & 720 \\ (B) & 705 \\ (C) & 672 \\ (D) & 48 \\ (E) & 15 \end{aligned}$

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:

6 \times 5 \times 4 \times \dots \times 1 = 6! = 720

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada

2!

posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:

3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2! = 48

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu

720 - 48 = 672

∴

Pilihan yang sesuai

(C) 672

4. Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{aligned} (A) & 42 \\ (B) & 52 \\ (C) & 62 \\ (D) & 72 \\ (E) & 82 \end{aligned}$

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk

5

mobil dengan posisi parkir bebas adalah:

5 \times 4 \times 3 \times \dots \times 1 = 5! = 120

Banyak susunan parkir untuk

5

mobil dimana

2

mobil truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua mobil truk adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada

2!

posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:

4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! = 48

Banyak susunan parkir untuk

5

mobil dimana

2

mobil truk tidak berdekatan adalah banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu

120 - 48 = 72

∴

Pilihan yang sesuai

(D) 72

5. Banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $S I M A K U I$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{aligned} (A) & 432 \\ (B) & 312 \\ (C) & 240 \\ (D) & 164 \\ (E) & 720 \end{aligned}$

Susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata

S I M A K U I

apabila huruf

I

harus selalu berdekatan dapat kita tentukan dengan menganggap "

I

" adalah "satu" sehingga banyak huruf yang kan disusun tinggal "enam".

Banyak susunan huruf adalah

\begin{array}{ccccccc} I I & S & M & A & K & U \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}

Banyak susunan adalah

6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

, untuk kasus ini tidak kita kali

2!

karena jika

I I

bertukar posisi hasilnya adalah posisi yang sama.

∴

Pilihan yang sesuai

(E) 720

Search This Blog

Matematika SMA