Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Linear-Linear)

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan bagian dari penyelesaian masalah program linear. 

Sehingga sangat penting untuk memahami materi ini terlebih dahulu sebelum mempelajari program linear.

Pertidaksamaan Dua Variabel 

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≤, atau ≥. Sehingga bentuk pertidaksamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut.

ax + by > c 

ax + by < c 

ax + by ≥ c 

ax + by ≤ c berikut adalah contohnya 

2x + 3y > 6 

4x – y < 9 

 Berbeda dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berupa himpunan pasangan titik-titik atau jika digambar grafiknya akan berupa garis lurus, penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah penyelesaian. 

Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berupa daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah bersih.

Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut.

1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel. 

2. Lukis grafik/garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius.

3. Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, namun apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Contoh 1: 

Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berikut 

a. 3x + y < 9 

b. 4x – 3y ≥ 24 

 Penyelesaian 

a. 3x + y < 9 

3x + y = 9

Grafik Penyelesaian

(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan)
Uji titik (0, 0)
3(0) + 0 < 9
0 < 9 (benar)
Karena pernyataannya menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesaianya. Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan.

b. 4x – 3y ≥ 24
4x – 3y = 24

Grafik Penyelesaian

Uji titik (0, 0)
4(0) – 3(0) ≥ 24
0 ≥ 24 (salah)
Karena pernyataanya menjadi salah, maka (0, 0) bukan termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah penyelesainnya tidak memuat (0, 0) dan daerah bersihnya (daerah penyelesaian) berada di bawah garis.

Untuk melakukan uji titik, tidak harus selalu menggunakkan titik (0, 0). Titik mana saja bisa digunakan asalkan titik tersebut tidak dilalui oleh garis persamaan. Pada dua contoh di atas, dasar pertimbangan menggunakan titik (0, 0) adalah selain tidak dilalui oleh garis serta mempermudah perhitungan.

 

Ø  Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Linear – Linear)

Sistem pertidakasamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada dalam sistem. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

 

Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 9

6x + 11 y ≤ 66
x ≥ 0
y ≥ 0
Penyelesaian
x + y ≤ 9
x + y = 9

6x + 11 y ≤ 66
6x + 11 y = 66

x ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan sumbu y
y ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas sumbu x
Grafik Penyelesaian

Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0  ≤ 9 (benar)

Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0  ≤ 66 (benar)

Contoh 3
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 5
4x + 6 y ≤ 24
x ≥ 1
y ≥ 2
Penyelesaian
x + y ≤ 5
x + y = 5

4x + 6 y ≤ 24
4x + 6 y = 24

x ≥ 1, gambar garisnya melalui x = 1 dan sejajar sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan garis
y ≥ 2, gambar garisnya melalui y = 2 dan sejajar sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas garis
Grafik Penyelesaian

Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 5
0  ≤ 5 (benar)

Uji titik (0, 0)
4(0) + 6(0) ≤ 24
0  ≤ 24 (benar)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CARA MENENTUKAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN JIKA YANG DIKETAHUI GRAFIKNYA

Caranya sangat sederhana. Pada prinsipnya, yang harus kita lakukan yakni melihat titik potong garis-garis pada grafik terhadap sumbu x dan sumbu y kemudian menyusun persamaan garisnya. Untuk tujuan praktis, kita dapat menggunakan rumus berikut :

ax + by = ab

Setelah persamaan garisnya kita peroleh, maka selanjutnya yakni melihat himpunan penyelesaian (HP) yang tertera di grafik.

Jika garis berada di kuadran pertama dan kuadran keempat ( sebelah kanan) menyerupai pada contoh, maka pertidaksamaannya dapat ditentukan dengan cara berikut :

1. Kurang dari (<) → HP terletak di bawah garis, garis lurus berupa garis putus-putus
   
   
   


2. Lebih dari (>) → HP terletak di atas garis, garis lurus berupa garis putus-putus
   
   
   


3. Kurang dari sama dengan (≤) → HP terletak di bawah garis, garis lurus berupa garis utuh
   
   
   


4. Lebih dari sama dengan (≥) → HP terletak di atas garis, garis lurus berupa garis utuh
   
   
   

Contoh soal:
1. Tentukan sistem pertidaksamaan yang memiliki tempat himpunan penyelesaian menyerupai gambar di bawah ini.

 

Pembahasan:
Untuk a = 6, b = 3
maka persamaan garisnya 6x + 3y = 18 → 2x + y = 6

Untuk a = 4, b =6
maka persamaan garisnya 4x + 6y = 24 → 2x + 3y = 12

Untuk a = 2, b = tak hingga
maka persamaan garisnya 2x + ∞y = 2∞ → y = 2

Lihat Himpunan Penyelesaiannya :

1. Di bawah garis 2x + 3y = 12 → 2x + 3y ≤ 12
2. Di atas garis 2x + y = 6 → 2x + y ≥ 6
3. Di atas garis y = 2 → y ≥ 2

Makara sistem pertidaksamaan linear yang sesuai dengan grafik yakni :
2x + 3y ≤ 12, 2x + y ≥ 6, dan y ≥ 2.

Note :
Cara di atas hanya berlaku untuk grafik pada kuadran I dan IV. Untuk grafik sebelah kiri (kuadran II dan III), maka gunakan aturan kebalikannya, sebagai berikut :

1. Kurang dari (<) → HP terletak di atas garis, garis lurus berupa garis putus-putus 
2. Lebih dari (>) → HP terletak di bawah garis, garis lurus berupa garis putus-putus 
3. Kurang dari sama dengan (≤) → HP terletak di atas garis, garis lurus berupa garis utuh 
4. Lebih dari sama dengan (≥) → HP terletak di bawah garis, garis lurus berupa garis utuh 

2. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan… 

A. 5x + 3y ≤ 30, x – 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

B. 5x + 3y ≤ 30, x – 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

C. 3x + 5y ≤ 30, 2x – y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

D. 3x + 5y ≤ 30, 2x – y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

E. 3x + 5y ≥ 30, 2x – y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban : D

Pembahasan : 

3. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu …. 

A. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – x + y ≥ 2

B. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≥ 2

C. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2

D. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≤ 2

E. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2

Jawaban : C

Pembahasan :